Która szklanka ma najwięcej wody? Zasady wypierania

Cztery jednakowe szklanki z wodą do wspólnego poziomu i całkowicie zanurzonymi przedmiotami różnej wielkości.

Najwięcej wody ma szklanka z przedmiotem, który wypiera najmniejszą objętość wody, pod warunkiem, że szklanki są identyczne i poziom cieczy jest jednakowy. W opisanym wariancie zagadki odpowiedzią będzie A, czyli szklanka ze spinaczem, jeśli jego zanurzona część zajmuje najmniej miejsca. Nie otrzymaliśmy jednak oryginalnej ilustracji, więc nie da się potwierdzić szczegółów konkretnego obrazka.

To dobre zadanie do rozróżniania trzech rzeczy: wielkości naczynia, wysokości lustra wody i ilości samej cieczy. Zamiast zgadywać literę, warto ustalić, co rzeczywiście porównujemy. Poniżej wyjaśniamy regułę, pokazujemy autorskie przykłady liczbowe oraz wskazujemy sytuacje, w których pozornie oczywista odpowiedź przestaje być pewna.

Co wiadomo o opisanej zagadce

Opis wskazuje na cztery szklanki oznaczone literami A, B, C i D. Mają zawierać spinacz, piłkę baseballową, gumkę do ścierania i zegarek, a woda ma sięgać tej samej wysokości. Są to informacje o zamyśle zadania, nie zweryfikowane pomiary. Nie znamy wymiarów naczyń, wielkości przedmiotów ani tego, jaka ich część znajduje się pod powierzchnią.

Dlatego można wyjaśnić warunkowe rozwiązanie, lecz nie warto podawać dokładnego rankingu wszystkich czterech szklanek. Szczególnie porównanie gumki i zegarka wymagałoby dodatkowych danych. Rozsądna odpowiedź brzmi: jeśli naczynia są takie same, a spinacz wypiera najmniej wody, najwięcej samej cieczy znajduje się w szklance A. Każdy z tych warunków ma znaczenie.

Poziom cieczy i jej objętość to różne wielkości

Poziom opisuje wysokość powierzchni względem dna. Objętość mówi, ile przestrzeni zajmuje woda. NIST definiuje objętość jako miarę przestrzeni trójwymiarowej i podaje, że jeden mililitr odpowiada jednemu centymetrowi sześciennemu. To pozwala odejmować objętość przedmiotu wyrażoną w cm³ od objętości dostępnej w naczyniu wyrażonej w ml. Źródło: NIST o jednostkach objętości.

Wyobraź sobie przestrzeń wewnątrz szklanki poniżej powierzchni cieczy. Część zajmuje woda, a część zanurzony przedmiot. Obserwując samą linię powierzchni, widzisz granicę całego tego układu. Nie widzisz bezpośrednio, jaka część przestrzeni przypada na wodę. Właśnie dlatego dwie jednakowe szklanki mogą wyglądać na równie pełne, choć po odmierzeniu samej cieczy otrzymasz różne wyniki.

Dwa jednakowe naczynia z równym poziomem wody oraz małym i większym stalowym sześcianem pod powierzchnią.

Najprostszy model: przestrzeń do poziomu minus przeszkoda

W uproszczonym modelu przyjmijmy, że przedmioty są nieprzepuszczalne, nie zmieniają rozmiarów i nie zatrzymują dodatkowych pęcherzyków powietrza. Wtedy ilość wody można zapisać słownie: objętość wody = objętość wnętrza naczynia do danego poziomu − objętość zanurzonej części przedmiotu. Dla identycznych naczyń i wspólnego poziomu pierwszy składnik jest taki sam. O wyniku decyduje zatem odejmowana wartość.

Nie trzeba od razu znać liczb. Jeśli w jednej szklance zanurzony przedmiot zajmuje mniej przestrzeni niż w drugiej, to na wodę pozostaje więcej miejsca. To wniosek geometryczny. Związane z nim prawo Archimedesa dotyczy siły wyporu: jest ona równa ciężarowi wypartej cieczy. Materiał dydaktyczny Middle Tennessee State University wyjaśnia tę zależność dla częściowego i całkowitego zanurzenia. Źródło: wykład o wyporze.

Przykład liczbowy bez zgadywania wielkości przedmiotów

Rozważmy autorski przykład z czterema jednakowymi naczyniami. Każde mieści do wybranego poziomu 250 ml, kiedy nie ma w nim żadnego przedmiotu. Przyjmijmy, że umieszczone w nich bryły wypierają odpowiednio 2, 35, 18 i 50 ml. Są to wyłącznie umowne dane do obliczeń, a nie pomiary spinacza, piłki, gumki czy zegarka z internetowej zagadki.

Pierwsze naczynie: 250 − 2 = 248 ml wody.
Drugie naczynie: 250 − 35 = 215 ml wody.
Trzecie naczynie: 250 − 18 = 232 ml wody.
Czwarte naczynie: 250 − 50 = 200 ml wody.

Najwięcej wody ma pierwsze naczynie, a kolejność dalszych wynika z podanych objętości. Zwróć uwagę na różnicę między pierwszym i trzecim: wynosi 16 ml, dokładnie tyle, ile różnica między objętościami ich przeszkód. Jednakowy poziom nie zniknął; w obu szklankach przestrzeń do tego poziomu nadal wynosi 250 ml. Zmienił się jej podział.

Przykład pokazuje też granicę odpowiedzi jakościowej. Bez pomiarów można wskazać prawdopodobnego zwycięzcę, lecz nie obliczyć, o ile wygrywa. Określenie „najwięcej” dotyczy kolejności, natomiast podanie liczby mililitrów wymaga danych.

Jednakowa wysokość nie wystarcza przy różnych szklankach

Sprawdzenie naczyń powinno poprzedzać porównanie przedmiotów. Wąska szklanka i szeroka szklanka napełnione do wysokości pięciu centymetrów mogą mieścić różne objętości. Dla wnętrza w kształcie walca objętość do danej wysokości wynosi πr²h, gdzie r oznacza promień wewnętrzny, a h wysokość słupa. Tę zależność przedstawia materiał matematyczny BYU, Pathway. Źródło: objętość walca.

W naszym przykładzie geometrycznym zwiększenie promienia z 2 do 4 cm przy tej samej wysokości daje czterokrotnie większą przestrzeń. Większy przedmiot w szerszym naczyniu nie musi więc oznaczać mniejszej ilości wody. Także zewnętrzny rozmiar szklanki może mylić: liczy się jej wnętrze, nie grubość dna czy dekoracyjnych ścianek. Jeśli obrazek pokazuje odmienne naczynia, prosta reguła odejmowania nadal działa, ale trzeba osobno znać pierwszy składnik dla każdego z nich.

Korkowy klocek częściowo wystający z wody i stalowy klocek tej samej wielkości zanurzony w całości.

Liczy się część pod wodą, a nie cały obrys

Przedmiot całkowicie zanurzony i taki sam przedmiot częściowo wystający ponad powierzchnię zajmują różną ilość miejsca pod wodą. Materiał Oregon State University zestawia właśnie takie dwa przypadki: obiekty mają jednakową całkowitą objętość, ale wypierają różne objętości cieczy. Źródło: zanurzenie i wypór.

W autorskim przykładzie bryła o objętości 40 cm³ zajmuje pod wodą tylko 10 cm³, jeżeli zanurzona jest jedna czwarta jej objętości. Inna, mniejsza bryła o objętości 15 cm³, zanurzona w całości, wypiera więcej. Nie jest to opis konkretnej piłki ze zdjęcia, lecz demonstracja, dlaczego porównywanie samych zewnętrznych rozmiarów zawodzi.

Przy przedmiocie swobodnie pływającym w spoczynku wypór równoważy jego ciężar. Dlatego nie należy automatycznie zakładać, że cała widoczna piłka zajmuje miejsce przeznaczone na wodę. Trzeba sprawdzić jej położenie względem powierzchni. Jeśli ilustracja tego nie pokazuje, pozostaje niepewność, której nie usunie rozpoznanie nazwy przedmiotu.

Dlaczego pusty środek spinacza ma znaczenie

Spinacz ma szeroki obrys w porównaniu z grubością swojego drutu. Woda może jednak wypełniać przestrzeń między jego ramionami. Nie należy więc traktować całego prostokąta obejmującego spinacz jak pełnej bryły. Podobnie otwarty pierścień nie zajmuje wodzie całego swojego otworu, jeśli ciecz swobodnie przez niego przepływa.

Rozważmy dwie umowne konstrukcje o tym samym zewnętrznym rozmiarze: pełny klocek i ramkę z otwartym środkiem. Po całkowitym zanurzeniu ramki woda może znaleźć się w jej środku, natomiast wnętrze pełnego klocka jest niedostępne. Z kolei szczelna, zamknięta obudowa zachowuje się inaczej niż otwarta ramka. Dlatego nazwa „zegarek” sama w sobie nie dostarcza dokładnej objętości wypartej wody. Potrzebne byłyby informacje o jego konstrukcji i zanurzeniu.

Dwa podobne doświadczenia z różnymi pytaniami

W pierwszym wariancie przygotowujesz jednakowe naczynia z różnymi zanurzonymi bryłami i dopiero potem dolewasz wodę do wspólnego poziomu. Porównujesz ilości dolanej wody. To model opisanej zagadki: większa przeszkoda pod powierzchnią pozostawia mniej miejsca na ciecz. W przykładowych naczyniach mieszczących 200 ml do kreski bryły zajmujące 10 i 30 ml pozostawiają odpowiednio 190 i 170 ml na wodę.

W drugim wariancie najpierw odmierzasz do obu naczyń po 170 ml wody, a potem wkładasz te same bryły. Jeśli nic się nie wylewa, w każdym nadal jest 170 ml wody. Przestrzeń zajęta przez wodę i bryłę wynosi jednak odpowiednio 180 i 200 ml, więc w jednakowych naczyniach końcowe poziomy będą różne.

To dwa odrębne zadania. Jedno utrzymuje stały poziom końcowy, drugie stałą początkową ilość cieczy. Pytanie „ile wody wlano?” nie jest tożsame z pytaniem „jak wysoko sięga powierzchnia?”. Przed wyborem odpowiedzi warto odtworzyć kolejność czynności, jeśli została podana w opisie.

Zbliżenie wklęsłego menisku wody w szklanym cylindrze z kreskami podziałki na wysokości powierzchni.

Co można sprawdzić pomiarem

Do sprawdzenia objętości nieprzepuszczalnej bryły o nieregularnym kształcie służy porównanie odczytu w cylindrze miarowym przed i po jej pełnym zanurzeniu. Metoda wypierania wody pojawia się w materiale dydaktycznym California State University, Northridge, dotyczącym objętości i gęstości. Źródło: materiały o pomiarze objętości.

Przyjmijmy w naszym przykładzie odczyt początkowy 100 ml, a końcowy 124 ml. Różnica wynosi 24 ml. Taki wynik ma sens dla bryły zanurzonej w całości, bez wylania cieczy, bez jej wchłaniania i bez pęcherzyków zmieniających odczyt. Nie jest to informacja o masie przedmiotu. Można też porównać wodę z poszczególnych szklanek po oddzieleniu przedmiotów, pamiętając, że ciecz pozostająca na ich powierzchni utrudnia dokładne porównanie.

Jak odczytać zakrzywioną powierzchnię wody

Woda przy szklanej ściance tworzy menisk, czyli zakrzywienie powierzchni. W typowym szklanym cylindrze miarowym jest on wklęsły, a właściwy odczyt odnosi się do jego najniższego punktu. USGS wyjaśnia zarówno powstawanie tego zakrzywienia, jak i znaczenie odczytu dolnej części menisku. Źródło: USGS o menisku wody.

Przy własnym porównaniu ustaw naczynia na wspólnej poziomej powierzchni i obserwuj je na wysokości lustra cieczy. Odczytuj tę samą część powierzchni w każdym przypadku. Na zdjęciu zrobionym z góry trudniej ocenić zgodność poziomów, zwłaszcza gdy jedno naczynie stoi bliżej obiektywu. Szeroka ozdobna szklanka bez podziałki nadaje się do pokazania zjawiska, ale nie daje podstaw do podawania dokładnych mililitrów.

Czy wybór litery opisuje sposób myślenia

Z tej zagadki można zrobić ćwiczenie uzasadniania odpowiedzi. Osoba wskazująca ten sam poziom zauważa rzeczywistą cechę obrazka, ale może pomijać przedmioty. Osoba porównująca ich rozmiary może uchwycić zamysł zadania, lecz nadal potrzebuje sprawdzić zanurzenie. Osoba prosząca o wymiary szklanek może dostrzegać brak danych. Są to możliwe interpretacje argumentów, a nie trwałe etykiety przypisane ludziom.

Aby wynik zadania mierzył deklarowaną cechę, potrzebne byłyby dowody dotyczące jego trafności. Rzetelność dotyczy natomiast spójności pomiaru. Te pojęcia omawia University of Northern Iowa. Źródło: trafność i rzetelność pomiaru. W dostarczonych materiałach nie ma walidacji tej zagadki jako narzędzia oceny osobowości. Użyteczniej zapytać „jakie przyjąłeś założenia?” niż wyciągać szerokie wnioski z jednej litery.

Jak sformułować odpowiedź, którą da się sprawdzić

Dobre uzasadnienie łączy wybór z warunkami: „Wskazuję A, ponieważ przy jednakowych naczyniach i jednakowym poziomie spinacz ma w tym modelu najmniejszą objętość zanurzoną”. Takie zdanie pokazuje, skąd wynika odpowiedź, i pozwala wskazać informację, która mogłaby ją zmienić. Jeśli okaże się, że jedna szklanka jest znacznie szersza, należy ponownie porównać przestrzeń dostępną do poziomu wody.

Możesz też zaproponować zmianę zadania: usuń wszystkie przedmioty i pozostaw ciecz w naczyniach. W naszym modelu szklanka z najmniejszą przeszkodą będzie miała teraz najwyższy poziom wody, bo wcześniej mieściła jej najwięcej. To przewidywanie wynika z założeń modelu i daje konkretny sposób sprawdzenia rozumowania. Sam wybór litery nie pokazuje tej zależności.

Podsumowanie

W opisanej wersji zagadki A ze spinaczem jest odpowiedzią warunkową: naczynia muszą być identyczne, końcowy poziom jednakowy, a spinacz musi wypierać najmniej wody. Bez oryginalnej ilustracji nie można potwierdzić tych szczegółów ani ustalić pełnej kolejności pozostałych szklanek. Najważniejszą umiejętnością wyniesioną z zadania jest oddzielenie tego, co widać, od tego, co zakładamy i co można zmierzyć.

Najczęściej zadawane pytania

Czy szklanka bez przedmiotu wygrałaby takie porównanie?

Tak, jeśli wszystkie naczynia mają identyczne wnętrza i wodę do tego samego poziomu. W szklance bez przedmiotu cała przestrzeń poniżej powierzchni jest dostępna dla wody. W naszym modelu naczynie mieszczące do kreski 250 ml zawierałoby wtedy 250 ml cieczy, a szklanka z przeszkodą wypierającą 20 ml, 230 ml.

Czy dwa różne przedmioty mogą dać remis?

Tak. Wystarczy, że wypierają taką samą objętość wody, a naczynia i końcowy poziom są jednakowe. Przykładowo bryły o odmiennych kształtach, które zajmują pod powierzchnią po 12 ml, pozostawiają tyle samo miejsca na ciecz. Różnice wyglądu nie przesądzają o wyniku.

Czy z samego zdjęcia można obliczyć ilość wody w mililitrach?

Zwykle nie. Potrzebna jest wiarygodna skala, znajomość wewnętrznej geometrii naczynia albo odczyt podziałki oraz informacja o objętości wypartej przez przedmiot. Ilustracja bez takich danych pozwala czasem porównać ilości warunkowo, lecz nie uzasadnia dokładnego wyniku liczbowego.

Czy najcięższy przedmiot zawsze oznacza najmniej wody?

Nie można tak wnioskować dla całkowicie zanurzonych brył. W tym porównaniu odejmujemy objętość zajętą pod wodą, a nie masę. Dwa pełne przedmioty o identycznym kształcie i rozmiarze mogą mieć różne masy, lecz zajmować tyle samo miejsca. Dla swobodnie pływających przedmiotów trzeba osobno uwzględnić równowagę wyporu i ciężaru.

Źródła

Rzetelne źródła pomogły w opracowaniu i dopracowaniu tej treści.